Для указания взаимного расположения каких-то исследуемых объектов используются:
- координатный луч, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по одну сторону от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
- координатная прямая, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по разные стороны от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
- координатная плоскость, когда их размещение или движение происходят вдоль произвольной непрямой линии.
Элементы координатной плоскости
Координатная плоскость отличается от обычной плоскости тем, что на неё наносится система координат. Примером может служить изображение любого материка с нанесёнными на него параллелями и меридианами, которые и задают систему географических координат, позволяющих находить или задавать положение любого объекта на карте.
Система координат представляет собой две взаимно пересекающиеся под прямым углом координатные прямые в точках начала отсчёта. Горизонтальную координатную прямую принято называть осью абсцисс (абсцисса с лат. яз. – отрезок). Вертикальную прямую – осью ординат (ордината с лат. яз. – выстраивание по порядку).
Аналогично, координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что на ней выбирают какую-то точку за начало отсчёта; выбирают масштаб единичного отрезка в зависимости от того, какие расстояния предстоит изображать; положительное направление отсчёта, обозначаемое на координатной прямой стрелкой.
Положение объекта на такой плоскости обозначают точкой с двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.
Использование координатных плоскостей
Координатные плоскости широко используются для решения геометрических и физических задач. Причём в физике за ось абсцисс часто принимают ось времени. Тогда ось ординат задаёт координату тела на координатной прямой, располагаемой вдоль прямолинейной траектории движения тела.
Место урока в общей теме:
Общая тема "Положительные и отрицательные числа"
Это 1 урок по теме "Координаты"
- учащиеся знают определения положительных и отрицательных чисел
- учащиеся знают понятие координатной прямой
- умеют определять координаты точек координатной прямой
- умеют отмечать точки на координатной прямой по заданным координатам
Цели урока:
1) образовательные:
- ввести понятие координат
- ввести понятие системы координат, координатных осей и координатной плоскости
- ввести понятие координат точки: абсциссы и ординаты
- научить определять координаты точек
- научить отмечать точки на координатной плоскости по заданным ее координатам
- закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений
2) развивающие:
- создать у учащихся положительную мотивацию к выполнению умственных и практических действий
- развитие коммуникативной и информационной компетентностей учащихся
- помочь развитию интереса у учащихся не только к содержанию, но и к процессу овладения знаниями
- развивать умение применять полученные знания в конкретной ситуации
- развивать логическое мышление, память, самостоятельность
3) воспитывающие:
- воспитывать у учащихся чувство удовлетворения от возможности показать на уроке свои знания не только по математике, но и в других областях школьных знаний
- развитие интереса к изучению математики
- расширить умственный кругозор учащихся, помочь школьникам лучше понять роль математики в истории общества
- воспитание дисциплинированности, организованности
Тип урока: урок усвоения новых знаний
В соответствие с типом урока выбраны следующие этапы урока
- организационный момент
- актуализация
- подготовка к активному и сознательному усвоению нового материала
- усвоение нового материала
- упражнения на понимание
- обобщение и систематизация знаний
- подведение итогов урока
- оглашение домашнего задания
Ход урока
I. Организационный момент.
Приветствие. Постановка пред учащимися долговременных целей по теме и задач по уроку.
II. Устная работа
Направлена на подготовку учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
Координаты в жизненных ситуациях используются очень широко.
1. Привести примеры того, как в жизни используются координаты.
2. Предложить учащимся на основе рассмотренных примеров дать понятие координат.
III. Изучение нового материала.
1. Ввести понятие системы координат и координатной плоскости.
Учащимся предлагается рассмотреть рисунок и рассказать, что на нем изображено или ответить на вопросы.
Можно ли утверждать, что на рисунке изображены координатные прямые? Почему?
Под каким углом расположены эти прямые к друг другу?
Охарактеризовать точку пересечения этих прямых.
Что напоминает запись ? Чем она отличается от записи координаты точки на координатной прямой?
Под каким углом из точки А проведены стрелки к координатным прямым и ?
Какая связь между точками координатных прямых, на которые указывают стрелки, и записью ?
Выслушать ответы учащихся. Сделать выводы и ввести понятие системы координат, координатных осей, координатной плоскости, координат точки.
Координаты точки – пара чисел, по которым определяется положение точки на плоскости, где на первом месте стоит абсцисса, а на втором - ордината этой точки.
2. Ввести правило позволяющее определять координаты указанных точек.
Учащимся предлагается рассмотреть рисунок и определить координаты отмеченных точек.
Попросить учащихся сформулировать правило, позволяющее определить координаты точки. Повторить его.
Чтобы определить координаты точки - надо из точки опустить перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.
Для закрепления этого правила учащимся предлагается самостоятельно определить координаты отмеченных точек координатной плоскости, изображенных на экране. А затем проверить свое решение с тем, что на экране.
3. Определение положения точки на координатной плоскости по известным координатам.
Учащимся дается точка с заданными координатами. Задание – по известным координатам определить положение точки на координатной плоскости.
Сформулировать правило, позволяющее определять положение точки на координатной плоскости.
Чтобы определить положение точки на координатной плоскости – надо провести прямые, перпендикулярные осям, и найти точку их пересечения.
IV. Закрепление изученного материала.
1. Учащимся предлагается построить координатную плоскость в тетрадях и отметить точки с указанными координатами, с последующей проверкой.
2. Резервное задание. Найти площадь прямоугольника, если известны координаты его вершин.
V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Что нового узнали сегодня на уроке? Чему научились?
С какими понятиями познакомились?
Какие правила сегодня изучили?
VI. Домашнее задание.
Практическое задание: начертить на листе бумаги в клетку систему координат, взяв единичные отрезок длиной 1 см (две тетрадные клетки). Отметить произвольно десять точек, не указывая их координаты.
Основные сведения о координатной плоскости
Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.
Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .
Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.
Определение 1
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.
Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.
Координатная плоскость
Координаты точки
Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.
Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.
Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.
Построение точки по заданным координатам
Пример 1
На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$
Решение .
Построение точки $A$:
- отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.
Построение точки $B$:
- отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.
Пример 2
Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.
Решение .
Построение точки $C$:
- отложим число $3$ на оси $x$;
- координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.
Построение точки $D$:
- отложим число $2$ на оси $y$;
- координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.
Замечание 1
Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.
Пример 3
Определить координаты точек A, B, C, D.$
Решение .
Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$
Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$
Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.
Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$
Пример 4
Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Решение .
Построение точки $E$:
- отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$
Построение точки $F$:
- координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
- отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$
Построение точки $G$:
- отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
- на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$
Построение точки $H$:
- координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
- отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$
Построение точки $O$:
- обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).
Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC, координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A, координата z - аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).
Орты
Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов , сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.
В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или e x e y e z . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов :
- [i j ]=k ;
- [j k ]=i ;
- [k i ]=j .
История
Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат . Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.
Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Координатная плоскость" в других словарях:
плоскость резания - (Pn) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная основной плоскости. [ …
В топографии сеть воображаемых линий, опоясывающих земной шар в широтном и меридиональном направлениях, с помощью которой можно точно определить положение любой точки на земной поверхности. Отсчет широт ведется от экватора – большой окружности,… … Географическая энциклопедия
В топографии сеть воображаемых линий, опоясывающих земной шар в широтном и меридиональном направлениях, с помощью которой можно точно определить положение любой точки на земной поверхности. Отсчет широт ведется от экватора большой окружности,… … Энциклопедия Кольера
У этого термина существуют и другие значения, см. Фазовая диаграмма. Фазовая плоскость координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы… … Википедия
главная секущая плоскость - (Pτ) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения основной плоскости и плоскости резания. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и координатные плоскости … Справочник технического переводчика
инструментальная главная секущая плоскость - (Pτи) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения инструментальных основной плоскости и плоскости резания. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и координатные плоскости … Справочник технического переводчика
инструментальная плоскость резания - (Pnи) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная инструментальной основной плоскости. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и… … Справочник технического переводчика
кинематическая главная секущая плоскость - (Pτк) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения кинематических основной плоскости и плоскости резания … Справочник технического переводчика
кинематическая плоскость резания - (Pnк) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная кинематической основной плоскости … Справочник технического переводчика
основная плоскость - (Pv) Координатная плоскость, проведенная через рассматриваемую точку режущей кромки перпендикулярно направлению скорости главного или результирующего движения резания в этой точке. Примечание В инструментальной системе координат направление… … Справочник технического переводчика
